数学通识50课
- 一个学好数学的最重要的方法是：不断训练自己的思维方式。
- 升级思维认知：从个案到整体规律，从个别定理到完整的知识体系，从具体到抽象，从完全的确定性，到把握不确定性。
- 数学与自然科学的区别：
- 推理逻辑与测量的区别。
- 用逻辑证明与用事实证实的区别。
- 数学结论的绝对性与科学结论的相对性的区别。
数学定理不接受例外情况，数学定理的大致确立过程：从几个特例，到发现很多例证，提出猜想，证明猜想，成立定理，定理会有推论，在此基础上，有新的定理和应用。
- 数学思维最重要的原则就是：从逻辑出发思考问题。基于数学知识，用逻辑发现问题、预见问题。
- 数学的边界是一个硬边界，数学的边界有时候不一定是我们解决问题的边界，除了数学的方法，还可以寻找其他的方法。很多工程上的问题，可以通过使用近似的数值解，解决实际的问题。
- 数学和其他知识体系有密切的联系，掌握数学上的基本原则，有助于对其他知识的理解和应用。
- 有准则总比没有好。
- 少数几个数得到的所谓“规律”，和采用大量数据后得到的规律，是两回事；数学大部分时候研究的不是一个孤立的数，而是揭示一些规律和趋势；数列，关心的不仅是积累的趋势，还有积累的速度、和积累的结果。
- 数学就是工具，个别具体问题的解题技巧，其作用有限。学习数学最需要做的就是，将问题由自然语言翻译成数学语言，然后用数学的工具解决问题。学会把问题抽象成模型，才能解决更多更难的新问题。
- 学习数学应注重学习的是概念，及概念之间的联系，把现实问题转化为数学问题。不要花太多时间在那些无法举一反三的解题技巧上。
- 从形象到抽象，现实不存在，但是建立在不存在的基础之上的工具，却能解决实际的问题。
- 无穷大不是一个静态的、具体的大数字，而是一个动态的，不断扩大的变化趋势。不能以有限的认知，去理解无限的事物。
- 无穷小不是一个数，和无穷大一样，是一个概念、一个趋势。它弥补了关于数字在连续性方面的一个定义的缺失。
- 无穷大、无穷小不是具体的数字，但是它们也能比较大小，比的不是具体数字，而是变化的趋势。变化趋势快的，叫高阶，变化趋势慢的，叫低阶。
- 函数的4个共性：函数里面都有变量；都有一种对应关系；对应关系必须是确定的；函数所对应的关系，可以通过数学的方法，或者其他方法算出来。任何一个变量只能对应一个函数值，一个变量对应多个函数值，这种关系不是函数；有了函数，很容易看出两个变量之间是怎样互相影响的；函数让我们从对具体事物、具体数字的关注变成对趋势的关注，而且可以准确度量变化趋势带来的差异；函数可以帮助我们通过学习几个个例，掌握解决一系列问题的方法。我们的思维方式要从常数思维到变量思维，到函数思维。函数为同一类问题提供具有普遍性的答案。
- 函数中的因果关系：1-数学中的因果关系和生活中的可能不完全相同；2-当一个函数的变化由两个、或更多个变量决定时，单个变量和函数之间的因果关系，并不是函数值变化的必然原因。
- 导数的本质是对变化快慢的准确量化度量。
- 导数在数学上更本质的意义是，在于它是对于连续性的一种测度，光滑、连续的导数曲线，可以成为判断未来走势的依据。
- 有关不确定性的规律，只有在大量随机性实验时才显现出来，当试验的次数不足，它则显现出偶然性和随意性。
伯努利分布；方差；标准差； - 泊松分布、高斯分布